מתמטריק
זווית מרכזית וזווית היקפיתגיאומטריה 471 · שיעור 24
גיאומטריה 471 · מתחילים מהיסודות

שיעור 24: זווית מרכזית וזווית היקפית

פרק 7 · המעגל
1זווית היקפית = חצי מרכזית (עם הוכחה)
2היקפיות על אותה קשת שוות, היקפית על קוטר 90
35 תרגילים, כולל תרגיל עם שלושה משפטים
הגדרה + משפט + הוכחה
זווית היקפית שווה לחצי הזווית המרכזית
∢ACB היקפית , ∢AOB מרכזית – נשענות על אותה קשת AB
OA = OC
רדיוסים
∢OAC = ∢OCA = x
△AOC שווה שוקיים – זוויות הבסיס שוות
∢AOB = x + x = 2x
זווית חיצונית ל־△AOC שווה לסכום שתי הפנימיות שלא צמודות לה
📐 משפט: זווית היקפית שווה לחצי הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת
OABCxx2x
📐 הגדרה
זווית היקפית: קדקודה על המעגל ושוקיה מיתרים. זווית מרכזית: קדקודה במרכז
📐 הגדרה
מעגל: כל הנקודות שנמצאות במרחק R מהמרכז. כל הרדיוסים שווים
OA = OB = R
📐 משפט
במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
AB = AC ⟹ ∢B = ∢C
📐 משפט
זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שלא צמודות לה
∢ACD = ∢A + ∢B
משפטים
זוויות היקפיות על אותה קשת, וזווית היקפית על קוטר
∢ACB = ∢ADB
שתיהן נשענות על הקשת AB
📐 משפט: זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות
📐 משפט: זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה (90). ולהפך: זווית היקפית של 90 נשענת על קוטר
💡 כי הזווית המרכזית של קוטר היא 180 , וחצי ממנה 90
OABCD
📐 משפט
זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו
📐 משפט
זווית היקפית שווה לחצי הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת
∢ACB = ∢AOB : 2
תרגיל 1 · היקפית ומרכזית · קל
O מרכז המעגל. ∢AOB = 110
מצאו את הזווית ההיקפית ∢ACB
∢ACB = ∢AOB : 2 = 110 : 2 = 55
זווית היקפית שווה לחצי המרכזית הנשענת על אותה קשת
✅ פתרון סופי: ∢ACB = 55
OABC11055
📐 משפט
זווית היקפית שווה לחצי הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת
∢ACB = ∢AOB : 2
תרגיל 2 · אותה קשת · קל
∢ACB = 3x + 5 , ∢ADB = 5x − 15 – שתי זוויות היקפיות על הקשת AB
מצאו את x ואת הזוויות
∢ACB = ∢ADB
זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות
3x + 5 = 5x − 15
מציבים
5 + 15 = 5x − 3x ⟹ 20 = 2x
מעבירים אגפים וכינוס
x = 10
מחלקים ב־2
∢ACB = ∢ADB = 3 · 10 + 5 = 35
מציבים x = 10
✅ פתרון סופי: x = 10 , הזוויות 35
ABCD3x + 55x − 153535
📐 משפט
זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו
📐 כלל
מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
📐 כלל
מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן
a + b = c ⟹ a = c − b
📐 כלל
מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
תרגיל 3 · היקפית על קוטר · קל
AB קוטר במעגל, C נקודה על המעגל, ∢CAB = 32
מצאו את ∢ACB ואת ∢ABC
∢ACB = 90
זווית היקפית הנשענת על קוטר ישרה
∢ABC = 180 − 90 − 32 = 58
סכום הזוויות במשולש
✅ פתרון סופי: ∢ACB = 90 , ∢ABC = 58
OABC3258
📐 משפט
זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה (90 מעלות)
📐 משפט
סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות
∢A + ∢B + ∢C = 180
תרגיל 4 · משוואה · בינוני
O מרכז המעגל. ∢AOB = 4x , ∢ACB = x + 15
מצאו את x ואת שתי הזוויות
∢AOB = 2 · ∢ACB
זווית היקפית שווה לחצי המרכזית על אותה קשת
4x = 2(x + 15)
מציבים
4x = 2x + 30
פותחים סוגריים
2x = 30 ⟹ x = 15
מעבירים אגפים ומחלקים ב־2
∢AOB = 60 , ∢ACB = 30
מציבים x = 15
✅ פתרון סופי: x = 15 , ∢AOB = 60 , ∢ACB = 30
OABC4xx + 156030
📐 משפט
זווית היקפית שווה לחצי הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת
∢ACB = ∢AOB : 2
📐 כלל
מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
📐 כלל
מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן
a + b = c ⟹ a = c − b
📐 כלל
מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
תרגיל 5 · מורכב: שלושה משפטים
AC קוטר במעגל. B ו־D על המעגל משני צדי AC , ו־∢BAC = 25
מצאו את ∢BDC , ∢ABC , ∢ACB ו־∢ADB
∢BDC = ∢BAC = 25
זוויות היקפיות על הקשת BC
∢ABC = 90
זווית היקפית הנשענת על הקוטר AC
∢ACB = 180 − 90 − 25 = 65
סכום הזוויות במשולש ABC
∢ADB = ∢ACB = 65
זוויות היקפיות על הקשת AB
✅ פתרון סופי: ∢BDC = 25 , ∢ABC = 90 , ∢ACB = 65 , ∢ADB = 65
OABCD25256565
📐 משפט
זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו
📐 משפט
זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה (90 מעלות)
📐 משפט
סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות
∢A + ∢B + ∢C = 180

📌 מה למדנו היום

📐 משפט
זווית היקפית שווה לחצי הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת
∢ACB = ∢AOB : 2
📐 משפט
זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו
📐 משפט
זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה (90 מעלות)
📐 משפט הפוך
זווית היקפית של 90 מעלות נשענת על קוטר
💡 בכל זווית במעגל שואלים: על איזו קשת היא נשענת? מי עוד נשענת על אותה קשת?
מתמטריק
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא